Question

仿照下面的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b

3

=(m+n

3

)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a=

 

，b=

 

；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：

 

+

 

3

=（

 

+

 

3

）²；
（3）若a+4

3

=(m+n

3

)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．

Answer 1

考点：二次根式的化简求值

专题：计算题,探究型

分析：（1）（m+n

3

）²利用完全平方公式展开，然后根据与a+b

3

对应项的系数相同即可求得；
（2）首先确定m、n的值，然后根据（1）的结论求得a、b即可；
（3）根据（1）可以得到m，n之间的关系，根据m、n是完全平方式即可求解．

解答：解：（1）∵（m+n

3

）²=m²+2

3

mn+3n²=m²+3n²+2mn

3

，
∴a=m²+3n²，b=2mn；
（2）当m=1，n=1时，a=4，b=2，
则4+2

3

=（1+

3

）²；
（3）∵（m+n

3

）²=m²+3n²+2mn

3

，
∴2mn=4，a=m²+3n²，
解得：mn=2，
∵m、n是正整数，
∴m=1、n=2或m=2，n=1，
则当m=1、n=2时，a=1+12=13；
当m=2，n=1时，a=4+3=7．
故a=13或7．

点评：本题考查了二次根式的化简求值，正确理解a、b与m、n之间的关系是关键．