Question

问题背景：
设一元二次方程ax²+bx+c=0 （a≠0）两个根分别是x₁，x₂
则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

（1）若x₁：x₂=2：1时，求

b2

ac

的值

类比探究：
（2）若x₁：x₂=1：1时，则

b2

ac

=

 

（3）若x₁：x₂=3：1时，则

b2

ac

=

 

（4）若x₁：x₂=m：1时，则

b2

ac

=

 

 （用m的式子表示）
拓展延伸：
（5）若x₁：x₂=m：n时，则

b2

ac

=

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）设x₁=2t，x₂=t，根据根与系数的关系得到2t+t=-

b

a

，2t•t=

c

a

，消去t得到2（-

b

3a

）²=

c

a

，然后利用比例的性质即可得到

b2

ac

=

9

2

；
（2）、（3）、（4）、（5）用同样的方法进行计算．

解答：解：（1）设x₁=2t，x₂=t，则2t+t=-

b

a

，2t•t=

c

a

，
所以t=-

b

3a

，2t²=

c

a

，
所以2（-

b

3a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

9

2

；
（2）设x₁=t，x₂=t，则t+t=-

b

a

，t•t=

c

a

，
所以t=-

b

2a

，t²=

c

a

，
所以（-

b

2a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=4；
（3）设x₁=3t，x₂=t，则3t+t=-

b

a

，3t•t=

c

a

，
所以t=-

b

4a

，3t²=

c

a

，
所以3（-

b

4a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

16

3

；
（4）设x₁=mt，x₂=t，则mt+t=-

b

a

，mt•t=

c

a

，
所以t=-

b

(m+1)

，mt²=

c

a

，
所以m（-

b

(m+1)a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

(m+1)2

m

；
（5）设x₁=mt，x₂=nt，则mt+nt=-

b

a

，mt•nt=

c

a

，
所以t=-

b

(m+n)a

，mnt²=

c

a

，
所以mn（-

b

(m+n)a

）²=

c

a

，
所以

b2

ac

=

(m+n)2

mn

．
故答案为4，

16

3

；

(m+1)2

m

；

(m+n)2

mn

．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．