Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=4

3

，求证：PC为⊙O的切线；
（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何图形问题,动点型,分类讨论

分析：（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC=60°；
（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA=30°，进而得出答案；
（3）如图，当S_△MAO=S_△CAO时，动点M的位置有3种．
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．

解答：（1）解：∵AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，
∴CO=AO=4，
又∵∠OAC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC的度数为60°；

（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，
∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，
∴AD=DO=2，
∴CD=

AC2-AD2

=

42-22

=2

3

，
∵S△PAC=4

3

，
∴

1

2

PA×CD=4

3

，
∴PA=4，
∴PA=AC，
∴∠P=∠PCA=30°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=30°+60°=90°，
∴PC为⊙O的切线；

（3）解：如图，
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴

AM1

=

4π

180

×60=

4π

3

∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为

4

3

π．

②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴

AM2

=×2=

8

3

π或

AM2

=

4π×120

180

=

8π

3

，
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为

8

3

π．

③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴

AM3

=

8π

3

×2=

16

3

π或

AM3

=

4π×240

180

=

16

3

π，
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为

16

3

π．
综上所述：动点M所经过的弧长为：

4

3

π或

8

3

π或

16

3

π．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．