Question

若抛物线y=x²经过适当平移后过点（-1，0）和（2，3）．
（1）求平移后抛物线的表达式；
（2）若Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在平移后的抛物线上，∠A=30°，AC=8，求点A的坐标．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：（1）设平移后抛物线的表达式为y=（x+n）²+m，再把点（-1，0）和（2，3）代入可得关于m、n的方程组，然后解方程组可得m、n的值，进而得到函数解析式；
（2）根据锐角三角函数关系得出BC，AB的长，进而得出AD的长，再利用图象上点的坐标性质得出A点坐标．

解答：解：（1）设平移后抛物线的表达式为y=（x+n）²+m，
∵平移后过点（-1，0）和（2，3）．
∴

(-1+n)2+m=0 (2+n)2+m=9

，
解得：

n=1 m=0

，
∴平移后抛物线的表达式为y=（x+1）²；

（2）∵∠A=30°，AC=8，
∴BC=

8 3

3

，AB=

16 3

3

，
作CD⊥AB，

16 3

3

×CD=

8 3

3

×8，
解得：CD=4，
∴AD=

AC2-CD2

=4

3

，
设C（m，4），
把C（m，4）代入y=（x+1）²中，4=（m+1）²，
解得：m=1或-3，
∴OA=1+4

3

，则A点坐标为：（1+4

3

，0），
或OA=4

3

-3，则A点坐标为：（4

3

-3，0）．

点评：此题主要考查了二次函数的平移以及锐角三角函数关系等知识，利用数形结合得出C点横坐标是解题关键．