Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB．BE⊥AC，垂足分别为D、E、F为BC中点．BE与DF，DC分别交于点G、H，连接AG．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明．若不相等请说明理由；
（2）若AB=BC，求证：AG=BG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）通过全等三角形的判定定理AAS证得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即线段BH与AC相等；
（2）证明：如图，连接CG．易证BE垂直平分AC，则由“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”推知AG=CG．易证DF垂直平分BC，则BG=CG，所以依据等量代换证得AG=BG．

解答：（1）解：线段BH与AC相等．理由如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH与△DCA中，

∠DBH=∠DCA ∠BDH=∠CDA BD=CD

，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC，即线段BH与AC相等；

（2）证明：如图，连接CG．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AG=CG．
又∵F点是BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴AG=BG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．关键是推出△DBH≌△DCA，题目综合性比较强．