Question

已知：如图，等边△AOB的顶点A在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求直线AB的函数表达式；
（3）在y轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合条件的点P的坐标都写出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点B的坐标为（4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出AD及OD的长，进而可得出A点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
（2）根据A、B两点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可；
（3）设P（0，y），再分AP=OA，OP=OA，OP=AP三种情况进行讨论．

解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点B的坐标为（4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD=

1

2

OB=2，AD=OA•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∴k=2×2

3

=4

3

；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（2，2

3

），B（4，0），
∴

2k+b=2 3 4k+b=0

，解得

k=- 3 b=4 3

，
∴直线AB的解析式为：y=-

3

x+4

3

；

（3）设P（0，y），
当AP=OA时，2²+（2

3

-y）²=4²，解得y=4

3

，此时P₁（0，4

3

）；
当OP=OA时|y|=4，解得y=±4，故P₂（0，-4），P₃（0，4）；
当OP=AP时，如图所示，
∵BE是OA的垂直平分线，
∴OE=

1

2

OA=2，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOP=30°，
∴OP=

OE

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

，即P₄（0，

4 3

3

）．
总上所述，P点坐标为P₁（0，4

3

），P₂（0，-4），P₃（0，4），P₄（0，

4 3

3

）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，难度适中．