Question

11．已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．
（1）求证：GC=ED
（2）求证：△EHG是等腰直角三角形；
（3）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰直角三角形吗？若是，给予证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由先根据C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，易证得CE=DP，继而可证得CP=DE，然后由四边形CPFG和四边形PDHK都是正方形，证得结论；
（2）由四边形CPFG和四边形PDHK都是正方形，易得CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°，然后由全等三角形的判定定理求出△CEG≌△DHE，由直角三角形的两锐角互补即可解答；
（3）连接CE、ED，根据三角形中位线定理及直角三角形的性质可得?CEDP，再由CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°可求出△CEG≌△DHE，再通过等量代换即可解答．

解答 （1）证明：∵C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，
∴CE=AE-AC=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（AB-AP）=$\frac{1}{2}$BP=DP，
∴CE+EP=DP+EP，
即CP=DE，
∵四边形CPFG和四边形PDHK都是正方形，
∴CP=CG，
∴GC=ED；

（2）证明：∵四边形CPFG和四边形PDHK都是正方形，
∴CE=DP=DH，CG=CP=DE，∠GCE=∠EDH=90°，
∴在△CEG和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DH}\\{∠GCE=EDH}\\{CG=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DHE（SAS）．
∴EG=HE，∠EGC=∠HED
而∠EGC+∠CEG=90°，
∴∠HED+∠CEG=90°．
∴∠GEH=90°．
又∵EG=HE，
∴△EHG是等腰直角三角形．

（3）解：△EHG还是等腰直角三角形．
理由如下：
连接CE、ED，
∵点C、D、E分别是AP、PB及AB的中点，
∴CE∥PB，DE∥AP，
∴四边形CEDP是平行四边形，
∴∠PCE=∠PDE．
∴∠GCE=∠EDH，
∵CE=$\frac{1}{2}$BP=DP=DH，CG=CP=$\frac{1}{2}$AP=DE，
∴在△CEG和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DH}\\{∠GCE=EDH}\\{CG=DE}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△DHE（SAS），
∴EG=HE，∠EGC=∠HED．
如图，设EG和CP相交于M，
则∠GEH=∠GED-∠HED
=∠GMP-∠EGC
=∠GCM
=90°，
∴△EHG是等腰直角三角形．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了平行四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形判定等知识．注意能证得△CEG≌△DHE（SAS）是关键．