Question

10．已知，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O．
 
（1）如图①，若AC=6，则BD=6，OD=3；
（2）如图②，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是菱形；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接AE，BE，若AE=8，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求得答案；
（2）由矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，易证得OC=OD，又由DE∥AC，CE∥BD，可证得四边形OCED是平行四边形，即可判定四边形OCED是菱形；
（3）由四边形OCED是菱形，四边形ABCD是矩形，易证得△ADE≌△BCE，继而求得答案．

解答 （1）解：∵矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，
∴BD=AC=6，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=3；
故答案为：6，3；

（2）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；

（3）∵四边形OCED是菱形，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴BE=AE=8．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握矩形的对角线相等且互相平分定理的应用是解此题的关键．