Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC交EF于点D，延长OC至点M，使OM=OA，连结EM、FM，试证明四边形AEMF是菱形．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF；
（2）求出CE=CF，然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM，再判断出EF垂直平分AM，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM，然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF；

（2）解：∵BC=CD，BE=DF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=CF，
在△AEC和△AFC中，

AE=AF AC=AC CE=CF

，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴EM=FM，
∵OM=OA，
∴EF垂直平分AM，
∴AE=EM，
∴AE=EM=FM=AF，
∴四边形AEMF是菱形．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，（1）熟记正方形的性质并确定出全等三角形是解题的关键，（2）熟练掌握等腰三角形三线合一的性质以及菱形的判定方法是解题的关键．