已知平面直角坐标系xOy.双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=x+2都经过点A(2.m)．(1)求k与m的值,(2)此双曲线又经过点B(n.2).过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C.联结AB.AC.求△ABC的面积,的条件下.设直线y=x+2与y轴交于点D.在射线CB上有一点E.如果以点A.C.E所组成的三角形与△ACD相似.且相似比不为1.求点E的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

已知平面直角坐标系xOy（如图），双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与直线y=x+2都经过点A（2，m）．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）若（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．

分析（1）可把A点坐标代入直线解析式求得m，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k；
（2）可先求得B点坐标，再求得直线BC的方程，可求得C点坐标，可判断△ABC为直角三角形，可求得其面积；
（3）先求得D点坐标，计算出AD、CD、AC长，结合条件只有△ACD∽△CAE，再由相似三角形的性质可求得CE长，设出E点坐标，表示出CE长，可求得E点坐标．

解答解：（1）∵直线y=x+2都经过点A（2，m），
∴m=2+2=4，则A（2，4），
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）经过点A，
∴k=2×4=8；
（2）∵双曲线经过点B（n，2），
∴2n=8，解得n=4，
∴B（4，2），
由题意可设直线BC解析式为y=x+b，
把B点坐标代入可得2=4+b，解得b=-2，
∴直线BC解析式为y=x-2，
∴C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{（2-0）^{2}+[4-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（4-0）^{2}+[2-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-4）^{2}}$=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴BC²+AB²=AC²，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=8；
（3）∵直线y=x+2与y轴交于点D，
∴D（0，2），
∴AD=$\sqrt{（2-0）^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，且AC=2$\sqrt{10}$
如图所示，

∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE，
若∠ACD=∠EAC，则AE∥CD，四边形AECD为平行四边形，此时△ADC≌△CEA，不满足条件，
∴∠ACD=∠AEC，
∴△ACD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{CE}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{CE}$，解得CE=10$\sqrt{2}$，
∵E点在直线BC上，
∴可设E（x，x-2）（x＞0），
又∵C（0，-2），
∴CE=$\sqrt{（x-0）^{2}+[x-2-（-2）]^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x=10$\sqrt{2}$，解得x=10，
∴E点坐标为（10，8）．

点评本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、直角三角形的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等．在（1）中注意反比例函数中k=xy的应用，在（2）中判定△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中根据相似求得CE的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．

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