Question

10．如图1，E、F分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，且AB=2，若将△AEF绕点A逆时针旋转一周，在旋转过程中直线BE、DF相交于点P．
（1）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段BE、DF有怎样的数量关系和位置关系，并就图2的位置加以说明；
（2）在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，线段PA的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求当△AEF绕点A从起始位置旋转一周回到终止位置过程中，点P运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）由旋转得到∠BAE=∠DAF，AB=AD，AE=AF，判断出△ABE≌△ADF，再利用互余判断出垂直．
（2）利用直角三角形的性质求出PH，AH，再得到最大PA，
（3）先判断出P在以O圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，再计算即可．

解答 解：（1）BE=DF，BE⊥DF，如图1，

在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠ADF+∠PGD=90°，
∴∠DPG=90°，
∴BE⊥DF；
（2）如图1，

取EF中点，连接PH，AH，
∵∠EAF=∠FPE=90°，
∴PH=AH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴点P，H，A三点共线时，PA最长为$\sqrt{2}$．
（3）连接BD，取BD中点O，连接OP，OA，如图2，

∵∠BAD=∠BPD=90°，
∴OP=OA=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴P在以O圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆上，
当PA取最大时，PA=OP=OA=$\sqrt{2}$，
点P运动的路径是以O为圆心，以$\sqrt{2}$为半径圆心角是60°的弧的位置，再返回到点A，从另一方向继续以点O为圆心以$\sqrt{2}$为半径旋转60°的弧的位置，再返回，即：4段以点O为圆心，$\sqrt{2}$为半径圆心角是60°的弧的弧长，
∴点P运动的路径长为4×$\frac{\sqrt{2}}{3}$π=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$π．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线．