Question

如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…，已知标准纸的短边长为a．（说明：①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸、…都是矩形；②本题中所求边长或面积都用含a的代数式表示．）
（Ⅰ）如图2，把上面对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：
第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；
第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD：AB的值是

 

；
（Ⅱ）求“2开”纸长与宽的比

 

；
（Ⅲ）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，则DG的长

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：操作型,探究型,几何变换

分析：（1）由折叠可得AD=AE，∠BAE=45°，根据勾股定理就能求出AD：AB的值．
（2）按照图1的折叠方法可得：“2开”纸的宽是“16开”纸的长的2倍“；“2开”纸的长是“16开”纸的宽的4倍，根据（1）中的结论即可解决问题．
（3）设DG的长为x，由于DC=

a

4

，则GC=

a

4

-x，易证△HDG～△GCF，△GCF≌△FBE，从而得到BF=CG=

a

4

-x，FC=2DG=2x，根据（1）中的结论可得BC=AD=

2

AB=

2 a

4

，根据BC=BE+EC即可建立关于x的方程，就可求出DG的长．

解答：解：（1）如图2，由折叠可得：AD=AE，∠BAE=∠DAE=

1

2

∠BAD．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
∴∠BAE=45°．∴∠BEA=45°．∴AB=BE．
∴AE²=AB²+BE²=2AB²．∴AE=

2

AB．
∴AD=AE=

2

AB．
∴AD：AB的值是

2

．

（2）如图1，由折叠可得：
“2开”纸的宽与“4开”纸的长相等，是“16开”纸的长的2倍；
“2开”纸的长是“8开”纸的长的2倍，是“16开”纸的宽4倍．
∵“2开”纸的长是a，∴“16开”纸的宽AB是

a

4

．
∵AD=

2

AB，∴“16开”纸的长AD是

2 a

4

．
∴“2开”纸的宽是

2 a

2

．
∴“2开”纸长与宽的比为a：

2 a

2

=

2

：1．
（3）∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=

a

4

，BC=AD=

2 a

4

．
由图3可得：∠EFG=∠FGH=90°，EF=FG=2GH．
∵∠B=∠EFG=∠C=∠FGH∠D=90°，
∴∠BFE=90°-∠CFG=∠CGF，∠CGF=90°-∠DGH=∠DHG．
在△FCG和△GDH中，
∵∠C=∠D，∠CGF=∠DHG，
∴△FCG∽△GDH．
∴

FC

GD

=

FG

GH

．
∵FG=2GH，∴FC=2GD．
在△EBF和△FCG中，

∠B=∠C ∠BFE=∠CGF EF=FG

∴△EBF≌△FCG．
∴BF=CG．
设DG=x，则BF=CG=DC-DG=

a

4

-x，FC═2GD=2x．
∵BC=BF+FC=

2 a

4

，∴

a

4

-x+2x=

2 a

4

．
∴x=

2 -1

4

a．
∴DG的长为

2 -1

4

a．
故答案为：

2

，

2

：1，

2 -1

4

a．

点评：本题是操作探究类的一道试题，让学生在操作中探究，在探究中发现，考查了相似的性质与判定、全等的性质与判定、矩形的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，是一道体现新课程理念的好题．