题目内容
如图1，点P为四边形ABCD所在平面上的点，如果∠PAD=∠PBC，则称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的横坐标为-6．
（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（-6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为 ；
（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（-2，4）、D（0，4）．
①若P在DC边上时，则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为 ；
②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标；
③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；
④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
（1）如图2，若A、D两点的坐标分别为A（-6，4）、D（0，4），点P在DC边上，且点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，则点P的坐标为
（2）如图3，若A、D两点的坐标分别为A（-2，4）、D（0，4）．
①若P在DC边上时，则四边形ABCD关于A、B的等角点P的坐标为
②在①的条件下，将PB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜6）得到线段P′B′，连接P′D，B′D，试用含m的式子表示P′D2+B′D2，并求出使P′D2+B′D2取得最小值时点P′的坐标；
③如图4，若点P为四边形ABCD关于A、B的等角点，且点P坐标为（1，t），求t的值；
④以四边形ABCD的一边为边画四边形，所画的四边形与四边形ABCD有公共部分，若在所画的四边形内存在一点P，使点P分别是各相邻两顶点的等角点，且四对等角都相等，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
考点：四边形综合题,勾股定理
专题：常规题型,几何变换
分析：（1）连结AP，BP，由全等三角形的性质就可以得出PD=PC而得出结论；
（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出
=
而求出结论；
②求出代表P′D2+B′D2的方程式，并求最小值．
③画图求证△PAM∽△PBN，值得注意的是本题有两个图形，容易漏掉一个答案．
④由题意可知，必须是正方形才能满足题干要求．
（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出
| AD |
| BC |
| DP |
| CP |
②求出代表P′D2+B′D2的方程式，并求最小值．
③画图求证△PAM∽△PBN，值得注意的是本题有两个图形，容易漏掉一个答案．
④由题意可知，必须是正方形才能满足题干要求．
解答：解：（1）由B点坐标（-6，0），A点坐标（-6，4）、D点坐标（0，4），可以得出四边形ABCD为矩形，
∵P在CD边上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；
∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，∴P点坐标为（0，2）；
（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△BCP，
∴
=
=
=
，
∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，
∴P点坐标为（0，3）；
②如图3，由题意，易得 B′（m-6，0），P′（m，3）
由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+（4-3）2+42+（m-6）2=2m2-12m+53
∵2＞0
∴P′D2+B′D2有最小值
当M=-
=3时，（在0＜m＜6范围内）时，P′D2+B′D2有最小值，此时P′坐标为（3，3）；
③由题意，知点P在直线x=1上，延长AD交直线x=1于M
a）如图，当点P在线段MN上时
易证△PAM∽△PBN
∴
=
，
即
=
，
解得t=2.8
b）如图，当点P为BA的延长线与直线x=1的交点时
易证△PAM∽△PBN
∴
=
，
即
=
，
解得t=7
综上可得，t=2.8或t=7
④因满足题设条件的四边形是正方形
故所求P的坐标为（-1，3），（-2，2），（-3，3），（-2，0）
∵P在CD边上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；
∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，∴P点坐标为（0，2）；
（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△BCP，
∴
| AD |
| BC |
| DP |
| CP |
| 2 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，
∴P点坐标为（0，3）；
②如图3，由题意，易得 B′（m-6，0），P′（m，3）
由勾股定理得P′D2+B′D2=PP′2+PD2+OD2+B′C2=m2+（4-3）2+42+（m-6）2=2m2-12m+53
∵2＞0
∴P′D2+B′D2有最小值
当M=-
| -12 |
| 2×2 |
③由题意，知点P在直线x=1上，延长AD交直线x=1于M
a）如图，当点P在线段MN上时
易证△PAM∽△PBN
∴
| PM |
| PN |
| AM |
| BN |
即
| 4-t |
| t |
| 3 |
| 7 |
解得t=2.8
b）如图，当点P为BA的延长线与直线x=1的交点时
易证△PAM∽△PBN
∴
| PM |
| PN |
| AM |
| BN |
即
| t-4 |
| t |
| 3 |
| 7 |
解得t=7
综上可得，t=2.8或t=7
④因满足题设条件的四边形是正方形
故所求P的坐标为（-1，3），（-2，2），（-3，3），（-2，0）
点评：本题考查了正方形的特性，考查了相似三角形的证明和应用、全等三角形的证明和应用，考查了坐标轴的应用．
练习册系列答案
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