Question

14．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF=AC；
（2）若CD=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形腰长相等性质可得AD=BD，即可求证△BDF≌△ACD，即可解题；
（2）连接CF，根据全等三角形的性质得到DF=DC，得到△DFC是等腰直角三角形．推出AE=EC，BE是AC的垂直平分线．于是得到结论．

解答 解：（1）AD⊥BD，∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BDF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠ACD}\\{∠BDF=∠ADC}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF=AC；
  
（2）连接CF，
∵△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD=3，CF=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF=CF，
∴AF=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△BDF≌△ACD是解题的关键．