Question

3．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，AB=4，BC=8，则图中弧$\widehat{CE}$，线段DE，CD围成的阴影部分的面积为32-8$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 连接BE．则阴影部分的面积等于矩形的面积减去直角三角形ABE的面积和扇形BCE的面积，根据题意，知BE=BC=8，则AE=4$\sqrt{3}$，∠ABE=60°，则∠CBE=30°进而求出即可．

解答 解：连接BE．
根据题意，知BE=BC=8．
则根据勾股定理，得AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵cos∠BAE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
则∠ABE=60°．
则∠CBE=30°．
则阴影部分的面积=S_{四边形ABCD}-S_△ABE-S_扇形DAE=4×8-$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-$\frac{30π×{8}^{2}}{360}$=32-8$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$；
故答案为：32-8$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 此题主要考查了扇形面积求法，本题中能够将不规则图形的面积进行转换成规则图形的面积差是解题的关键．