Question

1．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，求tan∠EBC的值．
（3）设$\frac{AB}{BC}$=k，是否存在k的值，使△ABF与△BFE相似？，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE；
（2）已知sin∠DFE=$\frac{1}{3}$，设DE=a，EF=3a，DF=2$\sqrt{2}$a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）分类讨论：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB时求出k的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE；
（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴设DE=a，EF=3a，DF=$\sqrt{E{F}^{2}D{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
又∵△ABF∽△DFE，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{DF}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
tan∠EBC=tan∠EBF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴$\frac{AB}{BF}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BC=BF，
∴$\frac{AB}{BC}$=k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，△ABF与△BFE相似．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．