Question

8．如图1，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，且OA=2，过点B作EF∥AC交x轴于点F，交y轴于点E．
（1）求直线EF的解析式；
（2）如图2，G为直线EF上一动点，连接AG，过点C作CH∥AG交EF于点H，当∠ACH的度数为多少时，四边形ACHG是菱形，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下（即四边形ACHG是菱形），当点G在x轴上方时，AG与边BC交于点M，PQ为线段OC上一动线段，且PQ=2-$\sqrt{3}$，当四边形AMQP周长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B，C的坐标，进而求出直线AC的解析式，即可得出结论；
（2）先根据菱形的性质和两点间的距离公式求出点H的坐标，分两种情况构造直角三角形计算；
（3）先求出点G的坐标，进而求出直线AG的解析式，即可求出M的坐标，利用对称确定出点Q的位置，进而求出点Q的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，
∴A（2，0），C（0，2），B（2，2），
∴直线AC的解析式为y=-x+2，
∵EF∥AC，
∴设直线EF的解析式为y=-x+b，
∵点B在直线EF上，
∴2=-2+b，
∴b=4，
∴直线EF的解析式为y=-x+4；

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴AC=2$\sqrt{2}$，
∵四边形ACHG是菱形，
∴CH=AC=2$\sqrt{2}$，
∵点H在直线EF上，
∴设H（m，-m+4），
∵C（0，2），
∴CH=$\sqrt{{m}^{2}+（m-2）^{2}}$，
∴$\sqrt{{m}^{2}+（m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴m=1±$\sqrt{3}$，
∴H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）或（1+$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$），

①当点H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$）时，
如图2，过点H作HP'⊥y轴于P'，
∴HP'=$\sqrt{3}$-1，
∵C（0，2），
∴CP'=$\sqrt{3}$+1，
在Rt△CHP'中，tan∠HCP'=$\frac{HP'}{CP'}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=2-$\sqrt{3}$，
过点E作EN⊥CH，
∴tan∠HCM=$\frac{EN}{CH}$=2-$\sqrt{3}$，
∴EN=（2-$\sqrt{3}$）CN，
∴CN=（2+$\sqrt{3}$）EN，
∵CE=2，
根据勾股定理得，CN²+EN²=CE²，
∴[（2+$\sqrt{3}$）EN]²+EN²=4，
∴EN²=2-$\sqrt{3}$，
在Rt△EHP中，∠HEP'=45°，EP'=3+$\sqrt{3}$-4=$\sqrt{3}$-1，
∴EH²=2（$\sqrt{3}$-1）²=4（2-$\sqrt{3}$）
在Rt△EHN中，sin∠EHN=$\frac{EN}{HE}$=$\sqrt{（\frac{EN}{HE}}）^{2}$=$\sqrt{\frac{E{N}^{2}}{H{E}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4（2-\sqrt{3}）}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠EHN=30°，
∴∠ACH=180°-30=150°，

②当H（1+$\sqrt{3}$，3-$\sqrt{3}$）时，如图1，同①的方法可得，∠ACH=30°．
即：当∠ACH的度数为30°或150°时，四边形ACHG是菱形；

（3）∵点G在x轴上方，
∴菱形的内角∠ACH=150°，即：图2的图形情况，
如图3，
由（2）知，H（1-$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$），
∴G（3-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴直线AG的解析式为y=-（2+$\sqrt{3}$）x+2（2+$\sqrt{3}$），
∴M（7-4$\sqrt{3}$，2），
在线段AB上取一点H'使AH'=2-$\sqrt{3}$，
∴H'（2，2-$\sqrt{3}$），
∴点H关于y轴的对称点H（-2，2-$\sqrt{3}$），
连接MH，MH于y轴的交点就是Q，此时四边形AMQP的周长最小
∵H（-2，2-$\sqrt{3}$），M（7-4$\sqrt{3}$，2），
∴直线HM的解析式为y=$\frac{3\sqrt{3}-4}{11}$x+$\frac{14-5\sqrt{3}}{11}$，
∴Q（0，$\frac{14-5\sqrt{3}}{11}$），
∴P（0，$\frac{6\sqrt{3}-8}{11}$）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，两点间的距离公式，锐角三角函数，对称的性质，勾股定理，解（1）的关键是求出直线AC的解析式，解（2）的关键是得出点H的坐标，解（3）的关键是构造出图形找出点Q的位置，是一道涉及知识点比较多，计算量比较大的中考常考题．