Question

6．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3，点M是边BC上一点，点N是边AC上一点（不与点A、C重合），且MB=MN，则MB的取值范围是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以M为圆心，MN的长为半径画圆，当圆与AC相切时，BM最小，与线段BC相交且交点为A或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．

解答 解：如图，∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
又∵AC=3，
∴BC=$\frac{AC}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2
以M为圆心，BM的长为半径画圆；
①如图1，当圆M与AC相切时，MN⊥AC时，MN最短，即BM最短．
∵∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴MN=MB=$\frac{1}{2}$MC，
∴MB=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
②如图2，当圆M与AC相交时，若交点为A或C，则MB=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵点N不与点A、C重合，
∴此时MB=MN＜$\sqrt{3}$．
综合①②可知，BM的取值范围是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤MB＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及含30度的直角三角形．利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．