Question

15．如图，抛物线y=m（x-s）²+3经过正方形OABC的两个顶点B、C，且抛物线顶点D在正方形OABC内部．
（1）若直线y=x+1经过点D，求s，m的值；
（2）在（1）的条件下，直线l₁：y=kx，点A关于直线l₁的对称点A′，且点A′的横、纵坐标中有一个坐标与D点的相同，求A′点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点A′在第一象限，且直线l₂：y=kx+b经过点D，求b值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出点D、B的坐标，即可解决问题；
（2）过点D作x轴的平行线l交y轴于N，对称轴交x轴于M，以O为圆心画弧，交直线l于A′₁，A′₂，交对称轴于A′₃，A′₄，利用勾股定理即可求出点A的坐标；
（3）求出直线AA′2、AA′₃的解析式，根据两直线垂直确定k的值，再利用待定系数法即可解决问题；

解答 解：（1）∵抛物线的顶点D（s，3），直线y=x+1经过点D，
∴3=s+1，
∴s=2，
∴D（2，3），A（4，0），B（4，4）．
把B（4，4）代入抛物线y=m（x-2）²+3中，得到m=$\frac{1}{4}$，
∴s=2，m=$\frac{1}{4}$；

（2）过点D作x轴的平行线l交y轴于N，对称轴交x轴于M，以O为圆心画弧，交直线l于A′₁，A′₂，交对称轴于A′₃，A′₄，
在Rt△ONA′₁中，A′₁N=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′₁（-$\sqrt{7}$，3），A′₂（$\sqrt{7}$，3），
在Rt△A′₃OM中，A′₃M=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴A′₃（2，2$\sqrt{3}$），A′₄（2，-2$\sqrt{3}$）．
∴满足条件的点A的坐标为（2，±2$\sqrt{3}$）或（±$\sqrt{7}$，3）；

（3）∵点A′在第一象限，直线AA′₂的解析式为y=$\frac{3}{\sqrt{7}-4}$x+$\frac{12}{4-\sqrt{7}}$，
直线y=kx与直线y=$\frac{3}{\sqrt{7}-4}$x+$\frac{12}{4-\sqrt{7}}$垂直，
∴k=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，
∵y=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$x+b经过点D（2，3），
∴3=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$×2+b，
∴b=$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$，
∵直线AA′₃的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∵直线y=kx与直线y=-$\sqrt{3}x$+4$\sqrt{3}$垂直，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b经过点D（2，3），
∴3=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+b，
∴b=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
综上所述，满足条件的b的值为3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、一次函数的应用、两直线垂直k的乘积为-1、轴对称、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．