Question

17．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a-b+1＜0．其中正确结论有①②③．（填序号）

Answer 1

分析 采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．

解答 解：①由二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0），
4a-2b+c=0，故①正确；
②因为图象与x轴两交点为（-2，0），（x₁，0），且1＜x₁＜2，
对称轴x=$\frac{-2+{x}_{1}}{2}$=-$\frac{b}{2a}$，
则对称轴-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{b}{2a}$＜0，且a＜0，
∴a＜b＜0，
由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故②正确；
③设x₂=-2，则x₁x₂=$\frac{c}{a}$，而1＜x₁＜2，
∴-4＜x₁x₂＜-2，∴-4＜$\frac{c}{a}$＜-2，
∴2a+c＞0，4a+c＜0，故③正确；
④c＜2，4a-2b+c=0，
4a-2b+2＞0，2a-b+1＞0，故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了抛物线图象与系数的关系，其中a由抛物线的开口方向决定，a与b同号对称轴在y轴左边；a与b异号对称轴在y轴右边，c的符合由抛物线与y轴的交点在正半轴或负半轴有关，利用了根与系数的关系，点与图象的关系，题目稍有难度．