Question

11．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先利用菱形的性质和勾股定理求出菱形对角线BD为6$\sqrt{3}$，再作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交BD于P，此时MP+NP有最小值．然后根据勾股定理即可求出MP+NP=M′N=2$\sqrt{7}$．

解答 解：∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴AC=6，BD=6$\sqrt{3}$，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交BD于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于BD对称，
∴BM′=BM，
又∵，∠ABC=60°，
∴△BMM′是等边三角形，
∴MM′=BM=AB-AM=6-2=4，
∵AB=AD，AM=AN，
∴MN∥BD，
∴$\frac{MN}{BD}$=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$×6$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵MM′⊥BD，MN∥BD，
∴MM′⊥MN，
∴M′N=$\sqrt{M{N}^{2}+MM{′}^{2}}$=2$\sqrt{7}$
∴MP+NP=M′N=2$\sqrt{7}$，即MP+NP的最小值为2$\sqrt{7}$．
故答案为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质和勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．