Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，把△ACD绕着A点顺时针旋转，使得AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE、CB相交于M点，延长EB、AD相交于N点．求证：AM=AN．

Answer 1

分析 由旋转可以得出∠AEM=∠ADM=90°，就可以得出∠M=∠N，∠MAB=∠NAB就可以得出△ABM≌△ABN，由全等三角形的旋转就可以得出结论．

解答 证明：∵AB=AC，AD⊥BC于D点，
∴∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠BAD，∠ADC=ADB=90°．
∵△AEB是由△ADC旋转得到的，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，∠MAB=∠CAD．
∴∠AEB=∠ADB=90°．∠MAB=∠NAB
∴∠M+∠MAD=90°，∠N+∠EAN=90°，
∴∠M=∠N．
在△ABM和△ABN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠MAB=∠NAB}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN．

点评 本题考查了旋转的旋转的运用，直角三角形的旋转的运用，全等三角形的判定及旋转的运用，解答时证明三角形全等是关键．