Question

18．在初中，我们学习过二元一次方程组，知道二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法．现在我们来看一种新的方程组，二元二次方程组，含有两个未知数，且未知数的最高次数为二次的方程叫二元二次方程．将两个二元二次方程组合在一起的方程组叫二元二次方程组，二元二次方程组也可能通过二元一次方程的解法来求解，你明白了吗？那么，请解答以下问题：
（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3xy+{3y}^{2}=8，…①}\\{x+2y=1，…②}\end{array}\right.$
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}+{2y}^{2}=12，…①}\\{{x}^{2}+{4y}^{2}=14，…②}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）只需运用代入消元法就可解决问题；
（2）只需运用加减消元法就可解决问题．

解答 解：（1）由②得x=1-2y③，
把③代入①可得（1-2y）²+3（1-2y）y+3y²=8，
解得y₁=$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$，y₂=$\frac{1-\sqrt{29}}{2}$．
当y₁=$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$时，x₁=-$\sqrt{29}$；
当y₂=$\frac{1-\sqrt{29}}{2}$时，x₂=$\sqrt{29}$．
故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\sqrt{29}}\\{{y}_{1}=\frac{1+\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{29}}\\{{y}_{2}=\frac{1-\sqrt{29}}{2}}\end{array}\right.$．

（2）由①×2-②得，x=±$\sqrt{2}$③，
把③代入②得，y=±$\sqrt{3}$．
故原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\sqrt{2}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-\sqrt{2}}\\{{y}_{3}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-\sqrt{2}}\\{{y}_{4}=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了运用代入消元法、加减消元法解二元二次方程组，考查了运用已有的经验解决问题的能力．