Question

【题目】如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PV⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为______cm.

Answer 1

【答案】4

【解析】

根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，根据平角的义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证△PMN是等边三角形:根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得MC+NC＝AC＝12cm，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2MC＝NC，即司得MC的长.

∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.

∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，

∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，

∴△PMN是等边三角形∴PN=PM=MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP(AAS)，

∴PA＝BM＝CN，PB=MC=AN，MC+NC＝AC＝12cm，

∵∠C＝60°，∴∠MNC=30°，

∴NC=2CM，∴MC+NC=3CM=12cm,∴CM=4cm.

故答案为:4cm