Question

4．如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF
（1）求证：△DOE≌△BOF
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFFD为菱形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法ASA得出△DOE≌△BOF即可；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠OBP}\\{DO=BO}\\{∠EOD=∠FOB}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：当∠EOD=90°时，四边形BFDE为菱形，
理由如下：
∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．