Question

3．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y=-x²+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，则实数a的值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据新定义，分析函数y=-x²+16在新定义下点P的“可控变点”横坐标与纵坐标的对应关系，在分析a的取值范围．

解答 解：由定义可知：
①当0≤x≤a时，y′=-x²+16，此时，抛物线y′的开口向下，故当0≤x≤a时，y′随x的增大而减小（如图）
即：-a²+16≤y′≤16，
  ②当-5≤x＜0时，y′=x²-16，抛物线y′的开口向上，故当-5≤x＜0时，y′随x的增大而减小（如图），
即：-16＜y′≤9，
∵点P在函数y=-x²+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，
∴-a²+16≥-16
∴a²≤32，
∴-4$\sqrt{2}$≤a≤4$\sqrt{2}$，
又∵-5≤x≤a，
∴-a=4$\sqrt{2}$，

在函数y=-x²+16图象上的点P，当a=4$\sqrt{2}$时，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，
故答案为4$\sqrt{2}$

点评 本题考查了在新定义下二次函数在指定区间上的自变量与函数值之间的对应情况，解题的关键是理解在新定义下x与y′的相应区间．