Question

16．有四张正面分别标有数字-2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的函数y=（a+1）x²+ax+1的图象与x轴没有交点，且使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥a}\\{1-x≥2a}\end{array}\right.$有解的概率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由y=（a+1）x²+ax+1的图象与x轴没有交点，依据根的判别式△=b²-4ac＜0、联立二次项系数＞0得出关于a的一元二次不等式组，解不等式组可得出a的取值范围；根据关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥a}\\{1-x≥2a}\end{array}\right.$有解亦可得出a的取值范围；将两个条件合在一起结合题意，可知a只能为0或1，结合随机事件的概率公式即可得出结论．

解答 解：∵y=（a+1）x²+ax+1的图象与x轴没有交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{{a}^{2}-4（a+1）＜0}\end{array}\right.$，
解得：2-2$\sqrt{2}$＜a＜2+2$\sqrt{2}$．
解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥a}\\{1-x≥2a}\end{array}\right.$得：a≤1．
∴a的取值可以为0，1．
P=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了概率公式、解一元一次不等式组、抛物线与x轴的交点，解题的关键是解关于a的不等式组，得出a的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据抛物线与x轴没有交点得出关于a的一元二次不等式组是关键．