Question

2．AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E，F，EB与CF相交点G，⊙O的半径为3，DC=4，求CH，OH，HK，DK，CK的长及BC的长．

Answer 1

分析 由CD与⊙O相切于点C可得出∠OCD=90°，结合DA⊥AB即可得出∠OAD=90°=∠OCD，再由公共边OD即可通过全等三角形的判定定理HL证得两直角三角形△OAD≌△OCD，由此得出∠AOD=∠COD，即得出OD⊥AC．在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，DC=4，由勾股定理及∠COD的正余弦值，可得出OD、CH、OH的长度，由OK=OH+HK即可得出HK的长度，结合OD=OK+DK可得出DK的长度，最后再在Rt△CHK和Rt△ACB中由勾股定理算出CK与BC的长．

解答 解：∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵DA⊥AB，
∴∠OAD=90°=∠OCD，
在Rt△OAD和Rt△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OCD（HL）．
∴∠AOD=∠COD．
又∵OA=OC，
∴OD⊥AC．
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，DC=4，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴sin∠COD=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{4}{5}$，cos∠COD=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{3}{5}$，
∴CH=OC•sin∠COD=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，OH=OC•cos∠COD=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，HK=OK-OH=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，DK=OD-OK=5-3=2．
在Rt△CHK中，∠CHK=90°，CH=$\frac{12}{5}$，HK=$\frac{6}{5}$，
∴CK=$\sqrt{H{K}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2CH=$\frac{24}{5}$，AB=2OA=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出OD⊥AC，在各直角三角形中解决边的长度．本题属于中档题，难度不大，但该问中要求6条线段的长度，易造成混淆，解决该题型题目时，由边角关系结合勾股定理算出边长是关键．