Question

12．已知函数y=x²+mx+m-2的图象与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）若抛物线与y轴交于点（0，1），求方程x²+mx+m-2=0的两根．

Answer 1

分析 （1）先计算出判别式的值得到△=（m-2）²+4，由于m无论为何实数，△＞0，于是得到m的取值范围为全体实数；
（2）把（0，1）代入抛物线解析式得到m=3，然后计算函数值为0时自变量的值即可得到方程x²+mx+m-2=0的两根．

解答 解：（1）根据题意得△=m²-4（m-2）=（m-2）²+4，
∵（m-2）²+4＞0，
∴m无论为何实数，△＞0，
∴m的取值范围为全体实数；
（2）∵抛物线与y轴交于点（0，1），
∴m-2=1，解得m=3，
∴抛物线解析式为y=x²+3x+1，
当y=0时，x²+3x+1，解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，
即方程x²+mx+m-2=0的两根为x₁=$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．