Question

3．已知如图，线段AB的长为4，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作得等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，
（1）设AC=x，用含x的式子表示DE；
（2）求DE的最小值．

Answer 1

分析 （1）设AC=x，BC=4-x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），根据勾股定理求出DE；
（2）把（1）中的DE与x的函数关系变形为顶点式，求出DE的最小值．

解答 解：（1）设AC=x，BC=4-x，
∵△ADC，△BCE均为等腰直角三角形，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4-x），
∵∠ACD=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE²=CD²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（4-x）²=x²-4x+8，
∴DE=$\sqrt{{x}^{2}-4x+8}$；
（2）DE²=x²-4x+8=（x-2）²+4，
∴当x=2时，DE²取最小值4，
∴DE的最小值为2．

点评 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，关键是根据勾股定理列出函数表达式并掌握用配方法求二次函数最值．