Question

18．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=$\frac{4}{5}$，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；
（2）连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根据cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，根据cos∠CAB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，求出AB、BC，再根据勾股定理求出CH，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．

∵AB是直径，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵cos∠CAD=$\frac{4}{5}$=$\frac{AD}{AC}$，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，
∵cos∠CAB=$\frac{4}{5}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{25}{4}$a，BC=$\frac{15}{4}$a，
在RT△CHB中，CH=$\sqrt{C{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\frac{9}{4}$a，
∴DE=CH=$\frac{9}{4}$a，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{7}{4}$a，
∵EF∥CD，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．