如图1.抛物线y1=-x2+a与x轴交于A.D两点.与y轴交于点B.点C在抛物线y2的图象上．(1)求抛物线y1的函数表达式及点B的坐标,(2)如图2.将抛物线y1沿x轴向右平移后得抛物线y2.且抛物线y2的图象过点C.抛物线y2与x轴交于F.G两点.顶点为E．①请直接写出抛物线y2的函数表达式及点E的坐标,②在A.B.C.D.E.F.G中.连接任意三点.能构成等腰直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1，抛物线y₁=-x²+a与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，点C（2，-3）在抛物线y₂的图象上．
（1）求抛物线y₁的函数表达式及点B的坐标；
（2）如图2，将抛物线y₁沿x轴向右平移后得抛物线y₂，且抛物线y₂的图象过点C，抛物线y₂与x轴交于F、G两点，顶点为E．
①请直接写出抛物线y₂的函数表达式及点E的坐标；
②在A、B、C、D、E、F、G中，连接任意三点，能构成等腰直角三角形的共有5个，分别是△ABD、△EFG、△ACE、△BCF、△DCG．

分析（1）根据抛物线y₁=-x²+a与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，点C（2，-3）在抛物线y₁的图象上，可以求得抛物线y₁的函数表达式及点B的坐标；
（2）①根据抛物线y₁沿x轴向右平移后得抛物线y₂，且抛物线y₂的图象过点C，顶点为E，可以得到抛物线y₂的函数表达式及点E的坐标；
②先求出点A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，然后即可得到能够成等腰直角三角形的个数，通过计算可以说明哪几个三角形是等腰直角三角形．

解答解：（1）把点C（2，-3）代入y₁=-x²+a，得
-3=-2²+a，
解得，a=1，
即y₁=-x²+1，
当x=0时，y₁=1，
即点B的坐标为（0，1）；
（2）①抛物线y₂的函数表达式为：${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，点E的坐标为（4，1）；
理由：设${y}_{2}=-（x+b）^{2}+1$，
∵点C（2，-3）在抛物线y₂的图象上，
∴-3=-（2+b）²+1，
解得，b=-4，
即${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，
∴点E的坐标为（4，1）；
（3）当y₁=0代入y₁=-x²+1，得x=-1或x=1，将x=0代入y₁=-x²+1，得y₁=1，
∴点D为（-1，0），点A为（1，0），点B为（0，1），
将y₂=0代入${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，得x=3或x=5，将x=4代入${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，得y₂=1，
∴点F（3，0），G为（5，0），E为（4，1），
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，
∵$（\sqrt{2}）^{2}+（{\sqrt{2}）}^{2}=4={2}^{2}$，
∴△ABD是等腰直角三角形；
∴EF=$\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{2}$，FG=2，
，∵$（\sqrt{2}）^{2}+（{\sqrt{2}）}^{2}=4={2}^{2}$，
∴△EFG是等腰直角三角形；
∵A为（1，0），C为（2，-3），E为（4，1），
∴AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，AE=$\sqrt{（4-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{10}$，CE=$\sqrt{（2-4）^{2}+（-3-1）^{2}}=\sqrt{20}$，
∵$（\sqrt{10}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}=（{\sqrt{20}）}^{2}$，
∴△ACE是等腰直角三角形；
∵点B为（0，1），C为（2，-3），点F（3，0），
∴BC=$\sqrt{（2-0）^{2}+（{-3-1）}^{2}}=\sqrt{20}$，BF=$\sqrt{（3-0）^{2}+（{0-1）}^{2}}=\sqrt{10}$，CF=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，
∵$（\sqrt{10}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}=（{\sqrt{20}）}^{2}$，
∴△BCF是等腰直角三角形；
∵点D为（-1，0），C为（2，-3），G为（5，0），
∴DC=$\sqrt{[2-（-1）]^{2}+[（-3）-0]^{2}}=\sqrt{18}$，DG=$\sqrt{（-1-5）^{2}+（0-0）^{2}}=\sqrt{36}$，CG=$\sqrt{（2-5）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{18}$，
∵$（\sqrt{18}）^{2}+（\sqrt{18}）^{2}=（\sqrt{36}）^{2}$，
∴△CDG是等腰直角三角形；
故答案为：5，△ABD、△EFG、△BFC、△ACE、△CDG．

点评本题考查二次函数综合题、两点间的距离、等腰直角三角形的判定、勾股定理的逆定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

	A．	这1000名考生是总体的一个样本		B．	1000名考生是样本容量
	C．	每位考生的数学成绩是个体		D．	近9万多名考生是总体

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