Question

5．有一个内角等于120°的菱形周长为8cm，则较短的对角线长为2cm．较长的对角线与边的夹角是30°，面积是2$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 先求出菱形边长，再证明△ABD是等边三角形，得出较短对角线=边长，较长的对角线与边的夹角∠BAC=30°，由勾股定理求出OA，得出AC，关键菱形的面积═$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，周长为8cm，∠ABC=120°，
∴AB=AD=2cm，∠ABC=60°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=2cm，∠BAD=60°，OB=1cm，
∴∠BAC=30°，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
故答案为：2；30°；2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理以及菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．