Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D、E分别是AB，AC的中点，且DE=$\sqrt{2}$，梯形BCED的面积为3$\sqrt{6}$，求AB，AC的长．

Answer 1

分析 先证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC=2DE=2$\sqrt{2}$，由平行线得出△ADE∽△ABC，得出面积比等于相似比的平方$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，得出△ADE的面积=$\frac{1}{3}$梯形BCED的面积=$\sqrt{6}$，因此△ABC的面积=4$\sqrt{6}$，由△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AB，求出AB=4$\sqrt{3}$，再由勾股定理求出AC即可．

解答 解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=2$\sqrt{2}$，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{DE}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴△ADE的面积=$\frac{1}{4}$△ABC的面积=$\frac{1}{3}$梯形BCED的面积=$\sqrt{6}$，
∴△ABC的面积=4$\sqrt{6}$，
∵∠B=90°，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AB=4$\sqrt{6}$，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$•AB=4$\sqrt{6}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算方法等知识；本题综合性强，难度适中．