Question

9．已知关于x的一元二次方程x²+2x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x²+2x+k-1的图象的对称轴和顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程x²+2x+k-1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k的数值即可；
（2）分别把k的值代入方程2x²+4x+k-1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+k-1=0有实数根，
∴△=4-4（k-1）≥0．
∴k≤2．
∵k为正整数，
∴k=1，2；

（2）设方程x²+2x+k-1=0的两根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=-2，x₁•x₂=k-1，
当k=1时，方程x²+2x+k-1=0有一个根为零；
当k=2时，方程x²+2x+k-1=0有两个相同的非零实数根-1．
k=2符合题意．
二次函数y=x²+2x+1=（x+1）²，
对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，0）．

点评 此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数图象与性质，利用根的判别式确定k的数值是解决问题的关键．