Question

5．若关于x的一元二次方程①mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实根，试判断关于x的方程②（m-5）x²+2（m+2）x+m=0的根的情况．

Answer 1

分析 先根据根的判别式的意义，由一元二次方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根得到m≠0且4（m+2）²-4m（m+5）＜0，可解得m＞4，然后分类讨论：当m=5时，方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0化为5-12x=0，一元一次方程有一个解；当m＞4且m≠5时，△＞0，方程有两个不相等的实数解．

解答 解：∵一元二次方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，
∴m≠0且4（m+2）²-4m（m+5）＜0，解得m＞4，
当m=5时，方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0化为-12x=0，解得x=$\frac{5}{14}$；
当m＞4且m≠5时，△=4（m+2）²-4（m-5）×m=36m+16＞0，此时方程有两个不相等的实数解．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．