Question

6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD、BE是角平分线，他们相交于P，PF⊥AD于P交BC的延长线于F，交AC于H．
（1）求证：AH+BD=AB；
（2）求证：PF=PA；
（3）连接DE，是否存在数m，使得S_{四边形ABDE}=mS_△ABP？若存在，求出m；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先计算出∠APB=135°，进而得到∠BPD=45°，然后再计算出∠FPB=135°，然后证明△ABP≌△FBP，得∠F=∠CAD，然后证明△APH≌△FPD，进而得到AH=FD，再利用等量代换可得结论．
（2）由△ABP≌△FBP可得PA=PF．
（3）存在．m=2．由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，得S_△APB=S_△FPB，S_△APH=S_△FPD，由HD∥EP，得S_△EPH=S_△EPD，只要证明S_{四边形ABDE}=2S_△ABP，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=45°，
∴∠APB=135°，
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠PBF}\\{BP=BP}\\{∠APB=∠FPB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠F，
∵∠BAP=∠CAD，
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APH=∠FPD}\\{PA=PF}\\{∠PAH=∠PFD}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．

（2）证明：由（1）可知△ABP≌△FBP，
∴PA=PF，

（3）存在．m=2．
理由：连接HD，ED．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S_△APB=S_△FPB，S_△APH=S_△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S_△EPH=S_△EPD，
∵S_{四边形ABDE}=S_△ABP+S_△AEP+S_△EPD+S_△PBD
=S_△ABP+（S_△AEP+S_△EPH）+S_△PBD
=S_△ABP+S_△APH+S_△PBD
=S_△ABP+S_△FPD+S_△PBD
=S_△ABP+S_△FBP
=2S_△ABP，
∴m=2．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用平行线寻找面积相等的三角形，第三个问题有点难度，属于中考压轴题．