题目内容
19．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．
问题解决：如果△ABC的边长等于2$\sqrt{3}$，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．
分析 （1）如图1，由平行线分线段成比例定理可得：BD=CE；
（2）如图2，证明△BAD≌△CAE，得BD=CE；
（3）分两种情况：①如图3，在直角三角形中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG=1，由勾股定理求出AG=$\sqrt{3}$，得出BG，从而计算出BD的长．
②如图4，求EF的长和CF的长，根据勾股定理在Rt△EFC中求EC的长，所以BD=EC=2$\sqrt{7}$．
解答 解：（1）如图1，BD=CE，理由是：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}$，
∴BD=CE；
（2）结论仍然成立，如图2，
由图1得，△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
由旋转得：∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE；
（3）当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时，有两种情况：
①如图3，∵△ADE是等边三角形，
AF⊥DE，
∴∠DAF=∠EAF=30°，
∴∠BAD=30°，
过D作DG⊥AB，垂足为G，
∵AD=2，
∴DG=1，AG=$\sqrt{3}$，
∵AB=2$\sqrt{3}$，
∴BG=AB-AG=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{B{G}^{2}+G{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
②如图4，同理得：△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵AD=AE，DE⊥AC，
∴∠EAF=∠FAD=30°，
∴EF=FD=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC+CF=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
在Rt△EFC中，EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{28}$=4$\sqrt{7}$，
∴BD=EC=2$\sqrt{7}$，
综上所述，BD的长为2和2$\sqrt{7}$．
点评 本题是几何变换的综合题，考查了等边三角形、全等三角形的性质与判定；在几何证明中，如果出现等边三角形，它所得出的结论比较多，要准确把握需要利用哪些结论进行证明；此类题的解题思路为：证明两个三角形全等或利用勾股定理求边长；如果有平行的关系，可以考虑利用平行相似来证明．
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