Question

19．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有以下结论：（1）CO⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，根据切线的性质得AD⊥AB，BC⊥AB，则∠ODC=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD），再利用AD∥BC得到∠ADC+BCD=180°，所以∠ODC+∠OCD=90°，于是可判断CO⊥DO；
（2）根据切线长定理得DA=DE，CE=CB，而OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，根据角平分线定理的逆定理得到DF⊥AE，CG⊥BE，∠OFE=90°，∠OGE=90°，加上∠FOG=90°，于是可判断四边形OFEG是矩形．

解答 解：（1）∵AD、BC、CD为⊙O的切线，
∴OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠ODC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD=$\frac{1}{2}$（∠ADC+∠BCD），
∵AD∥BC，
∴∠ADC+BCD=180°，
∴∠ODC+∠OCD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠DOC=90°，
∴CO⊥DO；
（2）∵AD、BC、CD为⊙O的切线，
∴DA=DE，CE=CB，
而OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，
∴DF⊥AE，CG⊥BE，
∴∠OFE=90°，∠OGE=90°，
而∠FOG=90°，
∴四边形OFEG是矩形．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理和矩形的判定．