Question

9．如图，∠B=∠C=90°，AD=AB+CD，DM平分∠ADC，求证：M是BC的中点．

Answer 1

分析 过点M作ME⊥AD，垂足为E，根据角平分线性质求出ME=MC，根据HL推出Rt△DEM≌Rt△DCM，求出DC=DE，根据HL推出Rt△AEM≌Rt△ABM，根据全等三角形的性质求出EM=BM，即可得出答案．

解答 证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△DEM和Rt△DCM中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{EM=CM}\end{array}\right.$
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴DC=DE，
∵AD=AB+CD，
∴AE=AB，
∵ME⊥AD，∠B=90°，
∴∠AEM=∠B=90°，
∴在Rt△AEM和Rt△ABM中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL），
∴EM=BM，
∵EM=CM，
∴CM=BM，
即M是BC的中点．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能求出Rt△DEM≌Rt△DCM和Rt△AEM≌Rt△ABM是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．