Question

11．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，OP交⊙O于点C，PA=4cm，PC=2cm，求∠APB的大小．

Answer 1

分析 连结OA、OB，如图，根据切线的性质得∠PAO=∠PBO=90°，根据切线长定理得到∠APO=∠BPO，设⊙O的半径为r，则OP=r+2，利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，然后利用正切定义求∠APO，再利用∠APB=2∠APO求解．

解答 解：连结OA、OB，如图，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
设⊙O的半径为r，则OP=r+2，
在Rt△OAP中，∵OA²+PA²=OP²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
∴tan∠APO=$\frac{3}{4}$，
∴∠APO≈37°，
∴∠APB=2∠APO=74°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了解直角三角形．