Question

15．已知a是方程x²-3x-1=0的一个根，则a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=11，a³-10a+5=8．

Answer 1

分析 由把x=a代入已知方程后易得到a²-$\frac{1}{a}$-3=0，然后利用完全平方公式的变形公式来求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的值；
由已知的等式变形得到a²-1=3a，a²-3a=1，把所求的式子中的-10a变形为-9a-a=-3×3a-a，将3a=a²-1代入后，去括号整理后再将a²-3a=1代入，合并后即可得到结果．

解答 解：把x=a代入x²-3x-1=0得到：a²-3a-1=0，
所以a-$\frac{1}{a}$-3=0，
所以a-$\frac{1}{a}$=3，
所以a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$=（a-$\frac{1}{a}$）²+2=3²+2=11．

由a²-3a-1=0得到，a²-3a=1，
则a³-10a+5
=a³-9a-a+5
=a³-3（a²-1）-a+5
=a³-3a²+3-a+5
=a（a²-3a）+3-a+5
=a+3-a+5
=8．
故答案是：11；8．

点评 本题考查了一元二次方程的解的定义．利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．