Question

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知PA=PB，则点P为△ABC的准外心（如图1）．
（1）如图2，CD为正三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=

1

2

AB，求∠APB的度数．
（2）如图3，若△ABC为直角三角形，∠C=90°，AB=13，BC=5，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心

专题：几何图形问题,新定义

分析：（1）利用分类讨论：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，进而求出即可；
（2）利用分类讨论：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，进而求出即可．

解答：解：（1）①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=

3

3

DB=

3

6

AB．
与已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PB≠PC．
②若PA=PC，连结PA，则∠PCA=∠PAC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，
∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=

3

3

DA=

3

6

AB．
与已知PD=

1

2

AB矛盾，∴PA≠PC．
③若PA=PB，由PD=

1

2

AB，得PD=BD，
∴∠BPD=45°，
故∠APB=90°；

（2）①若PB=PA，设PA=x，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=12，则CP=12-x，
∴x²=（12-x）²+5²，
∴解得：x=

169

24

，即PA=

169

24

．
②若PA=PC，则PA=6．
③若PC=PB，由图知，在Rt△PBC中，不可能，
故PA=

169

24

或6．

点评：此题主要考查了勾股定理以及三角形外心的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．