Question

【题目】如图，直线是线段的垂直平分线，交线段于点，在下方的直线上取一点，连接，以线段为边，在上方作正方形，射线交直线于点，连接．

（1）设，求的度数；

（2）写出线段、之间的等量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）45° ；（2），证明见解析.

【解析】

（1）由线段的垂直平分线的性质可得PM=PN，且PO⊥MN，由等腰三角形的性质可得∠PMN=∠PNM=α，由正方形的性质可得AP=PN，∠APN=90°，可得∠APO=α，由三角形的外角性质可求∠AMN的度数；

（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得MN=CN，AN=BN，∠MNC=∠ANB=45°，可证△CBN∽△MAN，可得AM=BC.

（1）如图，连接MP，

∵直线l是线段MN的垂直平分线，

∴PM=PN，且PO⊥MN

∴∠PMN=∠PNM=α

∴∠MPO=∠NPO=90°-α，

∵四边形ABNP是正方形

∴AP=PN，∠APN=90°

∴AP=MP，∠APO=90°-（90°-α）=α

∴∠APM=∠MPO-∠APO=（90°-α）-α=90°-2α，

∵AP=PM

∴∠PMA=∠PAM= =45°+α，

∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°+α-α=45°

（2）AM=BC

理由如下：

如图，连接AN，CN，

∵直线l是线段MN的垂直平分线，

∴CM=CN，

∴∠CMN=∠CNM=45°，

∴∠MCN=90°

∴MN=CN，

∵四边形APNB是正方形

∴∠ANB=∠BAN=45°

∴AN=BN，∠MNC=∠ANB=45°

∴∠ANM=∠BNC

又∵

∴△CBN∽△MAN

∴

∴AM=BC