Question

【题目】已知：如图，是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，，求弦的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是等边三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；
（2）作AE⊥CD于点E，由已知条件得出AC=2，再求出AE=CE，根据解直角三角形就可以得到DE，从而得出答案．

（1）证明：连接OA，则OA=OC．

∵OC=AC

∴△OAC是等边三角形

∴∠OAC=∠OCA=∠AOC=60

∵AC=BC

∴∠CAB=∠B

∵∠OCA是△ACB的外角

∴∠OCA=∠CAB+∠B

∴

∴∠OAB=∠OAC+∠CAB=90

即：OA⊥AB

∴AB是⊙O的切线。

（2）解：过点A作AE⊥CD于点E

∵△OAC是等边三角形 ∴AC=OC=2

在Rt△AEC中，

AE=AC·sin∠ACD=2×sin45=

CE=AC·cos∠ACD=2×cos45=

∵∠D=∠AOC=30

∴在Rt△AED中，

∴．