Question

如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形ABCD的顶点C（3，

3

），顶点A在x轴的负半轴上，顶点B在x轴上．点E是CD上一动点，将梯形OBCE沿OE翻折至OB′C′E，OB′交CD于H，过点O作OE的垂线交CD所在直线于点G，设E（t，

3

）．

（1）直接写出OB′的长；
（2）①当HB′=1时，求出对应H点的坐标；②求证：HG=HO．
（3）如图2，作直线B′C′交直线OG于F．在运动变化过程中，点F的横坐标会随着t的变化而变化吗？如果变化，请用含t的式子表示；如果不变，求出点F的横坐标．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）由C的坐标确定出OB的长，利用折叠性质即可确定出OB′的长；
（2）①当HB′=1时，得到OH=2，设CD与y轴的交点为M，分两种情况考虑：（i）当H在y轴左侧时，利用勾股定理求出MH的长，确定出H坐标；（ii）当H在y轴右侧时，同理得出MH，确定出此时H坐标；
②由折叠的性质得到一对角相等，再由CD与AB平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到EH=HO，由OE垂直于OG，得到两对角互余，利用等角的余角相等得到∠GOH=∠HGO，利用等角对等边得到HG=HO，等量代换得到HG=HE；
（3）在运动变化过程中，点F的横坐标不变，理由为：过F作FN⊥AB于N，由CD与AB平行得到一对内错角相等，由∠GOH=∠HGO，等量代换得到一对角相等，再由一对直角相等，OF=OF，利用AAS得到△FON≌△FB′O，利用全等三角形对应边相等得到ON=OB′=3，即F横坐标不变为3．

解答：解：（1）∵C（3，

3

），
∴OB=3，
由折叠可得OB′=OB=3；
（2）①当HB′=1时，OH=2，
设CD与y轴的交点为M，

分两种情况考虑：
（i）当H在y轴左侧时，利用勾股定理得：MH=1，
此时H（-1，

3

）；
（ii）当H在y轴右侧时，同理MH=1，
此时H（1，

3

），
综上，H（-1，

3

）或（1，

3

）；
②由折叠可得∠BOE=∠HOE，
∵CD∥AB，
∴∠BOE=∠HEO，
∴∠HEO=∠HOE，
∴HE=HO，
∵∠EOG=90°，
∴∠GOH+∠HOE=90°，∠OGE+∠HEO=90°，
∵∠HOE=∠HEO，
∴∠GOH=∠HGO，
∴HG=HO，
∵HE=HO，
∴HG=HE；
（3）在运动变化过程中，点F的横坐标不变，理由为：
过F作FN⊥AB于N，

∵CD∥AB，
∴∠HGO=∠GOA，
∵∠GOH=∠HGO，
∴∠GOA=∠GOH，
在△FON和△FB′O中，

∠GOA=∠GOH ∠FNO=∠FB′O OF=OF

，
∴△FON≌△FB′O（AAS），
∴ON=OB′=3，
则点F的横坐标保持不变，它的横坐标为-3．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．