Question

如图，?ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F．
求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：证明题

分析：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

解答：证明：方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．
在△AOE与△COF中，

∠EAO=∠FCO AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形；

方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．
∴AE=CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形；

点评：考查了菱形的判定，本题利用了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．