Question

如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．

（1）求证：△BGD∽△DMA；

（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，

∴∠BGD=∠DMA=90°．

∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，

∴∠DBG=∠ADM．

在△BGD与△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；

（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，

∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN，

∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，

∴直线MN是⊙O的切线．