Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，点F（2，2），过函数y=

k

x

（x＞0，常数k＞0）图象上一点A（

1

2

，a）作y轴的平行线交直线l：y=-x+2于点C，且AC=AF．
（1）求a的值，并写出函数y=

k

x

（x＞0）的解析式；
（2）过函数y=

k

x

（x＞0）图象上任意一点B，作y轴的平行线交直线l于点D，是否总有BD=BF成立？并说明理由；
（3）如图2，若P是函数y=

k

x

（x＞0）图象上的动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点N，分别过点P、N作y的垂线交y轴于点Q、M，问是否存在点P，使得矩形PQMN的周长取得最小值？若存在，请求出此时点P的坐标及矩形PQMN的周长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）求出AC、AF的表达式，根据AC=AF求出a的值，然后利用待定系数法求出a的值即可；
（2）设B（m，

2

m

）（m＞0），则D（m，-m+2），根据勾股定理求出BF的长即可；
（3）结合（2）可知，当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值=2FE=4．

解答：解：（1）AC=a-

3

2

，AF=

9 4 +(a-2)2

，
∵AC=AF，
∴a=4，
∴点A（

1

2

，4），
∴k=2，
∴y=

2

x

（x＞0）．
（2）设B（m，

2

m

）（m＞0），则D（m，-m+2），
∴BD=

2

m

-（-m+2）=

2

m

+m-2，
BF=

(m-2)2+( 2 m -2)2

，
∴BD=BF．
（3）答：存在满足题设条件的点P．
解法1：设直线l交y轴于点E，连接EF，QF，由（2）得，PF=PN，
矩形PQMN的周长=2（PN+PQ）=2（PF+PQ），
∵PF+PQ≥QF≥EF，
∴当且仅当P、Q、F三点共线时，矩形PQMN的周长取到最小值=2FE=4，
此时，点P的坐标为（1，2）．
解法2：设P（m，

2

m

）（m＞0），则N（m，-m+2），
∴矩形PQMN的周长=2（PN+PQ）=2（

2

m

+m-2+m）=

4

m

+4m-4=（

2

m

-2

m

）²+4，
∴当

2

m

-2

m

=0，即m=1，P（1，2）时，矩形PQMN的周长取得最小值为4．

点评：本题考查了反比例函数综合题，涉及勾股定理、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题．