Question

11．已知BD为△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，求证：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{DE}$．

Answer 1

分析 先证明EB=ED，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AB-BE}{AB}$，用等线段代换得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AB-DE}{AB}$，然后根据比例的性质可得到结论．

解答 证明：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴EB=ED，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AB-BE}{AB}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AB-DE}{AB}$，
∴$\frac{DE}{BC}$=1-$\frac{DE}{AB}$，
∴$\frac{1}{BC}$=$\frac{1}{DE}$-$\frac{1}{AB}$，
即$\frac{1}{AB}+\frac{1}{BC}=\frac{1}{DE}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．